题目

题型：福建省月考题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）证明：PB⊥平面DEF。

答案

（Ⅰ）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO，
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点，
在中，EO是中位线，
∴PA∥EO，
而EO平面EDB且PA平面EDB，
所以，PA∥平面EDB。
（Ⅱ）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，
∴，
∵PD=DC，
可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴，                       ①
同理：由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC，
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC，
而DE平面PDC，
∴，                      ②
由①和②推得平面PBC，
而PB平面PBC，
∴，
又且，
所以PB⊥平面EFD。