题目

题型：广东省模拟题难度：来源：

如图，三角形ABC中，AC=BC=AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点。
（Ⅰ）求证：GF//底面ABC；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V。

答案

（Ⅰ）证明：证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图1）
∵G、F分别是EC和BD的中点，
∴HG//BC，HF//DE，
又∵ADEB为正方形，
∴DE//AB，从而HF//AB，
∴HF//平面ABC，HG//平面ABC，HF∩HG=H，
∴平面HGF//平面ABC，
∴GF//平面ABC。

证法二：取BC的中点M，AB的中点N，连结GM、FN、MN （如图2），
∵G、F分别是EC和BD的中点，
∴GM∥BE，且GM=BE，NF∥DA，且NF=DA，
又∵ADEB为正方形，
∴BE//AD，BE=AD，
∴GM//NF且GM=NF，
∴MNFG为平行四边形，
∴GF//MN，
又MN平面ABC，
∴GF//平面ABC。
（Ⅱ）证明：∵ADEB为正方形，
∴EB⊥AB，∴GF//平面ABC，
又∵平面ABED⊥平面ABC，
∴BE⊥平面ABC，
∴BE⊥AC，
又∵CA²+CB²=AB²，
∴AC⊥BC，
∵BC∩BE=B，
∴AC⊥平面BCE。
（Ⅲ）解：连结CN，因为AC=BC，
∴CN⊥AB，
又平面ABED⊥平面ABC，CN平面ABC，
∴CN⊥平面ABED。 
∵三角形ABC是等腰直角三角形，
∴， 
∵C-ABED是四棱锥，
∴V_C-ABED=。