题目

题型：0125 模拟题难度：来源：

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，E是棱AB的中点，F是棱CD的中点，
(1)求证：直线B₁F∥平面D₁DE；
(2)求二面角C₁-BD₁-B₁的大小；
(3)若点P是棱AB上的一个动点，求四面体DPA₁C₁体积的最大值。

答案

（Ⅰ）证明：取棱A₁B₁的中点E₁，连结E₁D，
∵B₁E₁∥DF且相等，
∴四边形DFB₁E₁为平行四边形，∴B₁F∥DE₁，
又∵B₁F平面D₁DE，易得DE₁平面D₁DE，
∴B₁F∥平面D₁DE。
（Ⅱ）解：取A₁C₁与B₁D₁的交点O₁，
在平面BB₁D₁D上作O₁H⊥BD₁，重足为H，连结HC₁，
∵C₁O₁⊥B₁D₁，平面BB₁D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴C₁O₁⊥平面BB₁D₁D，
∴C₁H⊥BD₁，即∠O₁HC₁是所求二面角的平面角，
又，
∴，
∴∠O₁HC₁=60°，所以二面角C₁-BD₁-B₁的大小是60°。
（Ⅲ）解：延长BA到M，使AM=AB连结MD，
则∵AB∥DC且相等，
∴AM∥DC且相等，∴四边形MACD是平行四边形，
∴MD∥AC且相等，
又四边形A₁ACC₁是平行四边形，
∴AC∥A₁C₁且相等，
∴MD∥A₁C₁且相等，
∴MD与A₁C₁确定一个平面，即平面DA₁C₁，
∴M是直线BA与平面DA₁C₁的交点，
∴当动点P与B重合时，P到平面DA₁C₁的距离最大，四面体DPA₁C₁体积最大，
此时四面体DPA₁C₁为正四面体，
棱长是，故四面体底面面积为，高为，
体积为。