题目

题型：贵州省模拟题难度：来源：

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。

答案

解：（1）连BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD。
以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz，
设底面边长为2，则高，
所以，
∴，
∴，故OC⊥SD，即AC⊥SD。
（2）由题意知，平面PAC的一个法向量，
平面DAC的一个法向量为，
设所求的二面角为θ，
则，
所求二面角的大小为30°。
（3）在棱SC上存在一点E使BE∥面PAC，
由（2）知是平面PAC的一个法向量，
且，，
设，
则，
而，
从而SE：EC=2：1时，，
又BE不在平面PAC内，
故BE∥面PAC。