题目

题型：0128 模拟题难度：来源：

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2，
（1）求证：C₁D∥平面ABB₁A₁；
（2）求直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值。

答案

（1）证明：四棱柱中，，
又面，
所以平面，
ABCD是正方形，所以CD∥AB，
又面，
所以CD∥平面，
所以，平面平面，
所以，平面。 （2）解：ABCD是正方形，AD⊥CD，
因为平面ABCD，所以，，，
如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，
在中，由已知可得，
所以，，
，，
因为平面ABCD，
所以平面，，
又，
所以平面，
所以平面的一个法向量为，
设与n所成的角为β，
又，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为。