题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E是PD的中点，
（Ⅰ）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；
（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值。

答案

（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a，
在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²，知PA⊥AB，
同理，PA⊥AD，
所以PA⊥平面ABCD；
因为
，
所以共面，
又PB平面EAC，
所以PB∥平面EAC。

（Ⅱ）解：作EG∥PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD，
作GH⊥AC于H，连结EH，
则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角，
又E是PD的中点，从而G是AD的中点，
，
所以。