如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=，点F是PD的中点，点E在CD上移动．（1）当点E为CD的中点时，试判断 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=

，点F是PD的中点，点E在CD上移动．
（1）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面PAC的关系，并说明理由；
（2）求证：PE⊥AF．

答案

（1）解：当点E为CD的中点时，EF∥平面PAC．
理由如下：
∵点E，F分别为CD，PD的中点，
∴EF∥PC．
∵PC

平面PAC，EF

平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD

平面ABCD，
∴CD⊥PA．又ABCD是矩形，
∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD．
∵AF

平面PAD，
∴AF⊥CD．
∵PA=AD，点F是PD的中点，
∴AF⊥PD．又CD∩PD=D，
∴AF⊥平面PDC．
∵PE

平面PDC，
∴PE⊥AF．

核心考点

试题【如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=，点F是PD的中点，点E在CD上移动．（1）当点E为CD的中点时，试判断】；主要考察你对线线、线面平行等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE，DF的交点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）求证：BD⊥平面CDE．

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如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点。
求证：（1）直线EF∥面ACD；
（2）平面EFC⊥面BCD．

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如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积V．

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如图，过平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB₁D₁平行的直线共有（）条．

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如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AC交BD于点O，PA⊥面ABCD，E是棱PB的中点．求证：
（1）EO∥平面PCD；
（2）平面PBO⊥平面PAC．

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