题目

题型：同步题难度：来源：

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为D₁C₁，C₁B₁的中点，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q，
求证：（1）D，B，F，E四点共面；
（2）若A₁C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．

答案

证明：如图，
（1）∵EF是的中位线，
∴，
在正方体中，，∴EF∥BD，
∴EF确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
（2）正方体中，设确定的平面为α，又设平面BDEF为β，
，
∴Q∈α，
又Q∈EF，
∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，α∩β=PQ，
又，
∴R∈A₁C，
∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线。