题目

题型：不详难度：来源：

空间内5个平面最多可将空间分成______个部分．

答案

首先：研究n条直线最多可将平面分割成多少个部分？（这n条直线中，任两条不平行，任三条不交于同一点），设n条直线最多可将平面分割成 b_n个部分，那么当n=1，2，3时，易知平面最多被分为2，4，7个部分．
当n=k时，设 条直线将平面分成了 b_k个部分，接着当添加上第k+1条直线时，这条直线与前 条直线相交有k个交点，这k个交点将第k条直线分割成n段，而每一段将它所在的区域一分为二，从而增加了k+1个区域，故得递推关系式b_k+1=b_k+（k+1），即b_k+1-b_k=k+1．显然当k=1时，b₁=2，当k=1，2，…（n-1）时，我们得到n-1个式子：b₂-b₁=2，b₃-b₂=3，b₄-b₃=4，…b_n-b_n-1=n
将这n-1个式子相加，得bn=

1

2

(n2+n+2)，即n条直线最多可将平面分割成

1

2

(n2+n+2)个部分．
我们来归纳一下解决这个问题的思路：从简单情形入手，确定 b_k与 b_k+1的递推关系，最后得出结论．
现在，我们回到原问题，用刚才的思路来解决空间的问题，设k个平面将空间分割成 a_k个部分，再添加上第k+1个平面，这个平面与前k个平面相交有k条交线，这k条交线，任意三条不共点，任意两条不平行，因此这第k+1个平面就被这k条直线分割成 b_k个部分．
而这 b_k个部分平面中的每一个，都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间．所以，添加上这第k+1个平面后就把原有的空间数增加了b_k 个部分．由此的递推关系式
a_k+1=a_k+b_k，即a_k+1-a_k=b_k，当k=1，2，…（n-1）时，我们得到n-1个式子：a₂-a₁=b₁，a₃-a₂=b₂，a₄-a₃=b₃，…a_n-a_n-1=b_n-1．
将这n-1个式子相加，得 a_n=a₁+（b₁+b₂+…+b_n-1），所以：an=[

1

2

(12+1+2)+

1

2

(22+2+2)+…+ 

1

2

(n²+n+2）]=2+

1

2

{[12+22+…+(n-1)2]+[(1+2+…+(n-1)]+2（n-1）}
=n+1+

1

2

[

1

6

(n-1)n(2n-1)

1

2

(n-1)n]=n+1+

1

6

(n-1)n(n+1)=

n3+5n+6

6

所以：n个平面最多可将平面分割成

n3+5n+6

6

个部分．当n=5时，空间内5个平面最多可将空间分成 26个部分．
故答案为：26．