题目

题型：重庆市高考真题难度：来源：

如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1，
(Ⅰ)求四面体ABCD的体积；
(Ⅱ)求二面角C-AB-D的平面角的正切值。

答案

解：(Ⅰ)如图，过D作DF⊥AC于F，
∵平面ABC⊥平面ACD，
∴DF⊥平面ABC，则DF是四面体ABCD的面ABC上的高，
设CD中点为G，
∵AC=AD=2，
∴AG⊥CD，
∴，
∵，
∴，
在Rt△ABC中，，
∴，
∴四棱锥ABCD的体积。
(Ⅱ)（几何法）过F作FE⊥AB于E，连结DE，由(Ⅰ)知DF⊥面ABC，
由三垂线定理知DE⊥AB，∴∠DEF为二面角C-AB-D的平面角，
在Rt△AFD中，，
在Rt△ABC中，FE∥BC，∴，
∴，
在Rt△EFD中，。