题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°，
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）证明PA⊥BD。

答案

解：（Ⅰ）如图，取AD的中点E，连结PE，
则PE⊥AD，
作PO⊥平面ABCD，垂足为O，
连结OE，根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，
所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，
由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，
所以PO=3，
四棱锥P-ABCD的体积V_P-ABCD=。
（Ⅱ）如图，以O为原点建立空间直角坐标系，
通过计算可得 P（0，0，3），A（2，-3，0），
B（2，5，0），D（-2，-3，0），
所以，
因为，
所以PA⊥BD。