题目

题型：专项题难度：来源：

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，点M是BC的中点，点N是AA₁的中点。

（1）求证：MN∥平面A₁CD；
（2）过N，C，D三点的平面把长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值。

答案

解：（1）设点P为A的中点，连接MP，NP
∵点M是BC的中点，
∴MP∥CD
∵CD平面A₁CD，MP平面A₁CD，
∴MP∥平面A₁CD
∵点N是AA₁的中点，
∴NP∥A₁D
∵A₁D平面A₁CD，NP平面A₁CD，
∴NP∥平面A₁CD
∵MP∩NP=P，MP平面MNP，NP平面MNP，
∴平面MNP∥平面A₁CD
∵MN平面MNP，
∴MN∥平面A₁CD。（2）取BB₁的中点Q，连接NQ，CQ
∵点N是AA₁的中点，
∴NQ∥AB
∵AB∥CD，
∴NQ∥CD
∴过N，C，D三点的平面NQCD把长方体ABCD-A₁B₁C₁D截成两部分几何体，其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD，另一部分几何体为直四棱柱B₁QCC₁-A₁NDD₁
∴
∴直三棱柱QBC-NAD的体积V₁=S_△QBC·AB=
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V=1×1×2=2，
∴直四棱柱B₁QCC₁-A₁NDD₁体积V₂=V-V₁=
∴
∴所截成的两部分几何体的体积的比值为。