题目

题型：期末题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=4，∠ABC=90°．
（1）求三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的表面积S；
（2）求异面直线A₁B与AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

答案

解：（1）在△ABC中，因为AB=2，AC=4，∠ABC=90°，
所以BC=．
S_△ABC=×AB×BC=2．
所以S=2S_△ABC+S_侧=4+（2+2+4）×4=24+12．
（2）连接BC₁，因为AC∥A₁C₁，
所以∠BA₁C₁就是异面直线A₁B与AC所成的角（或其补角）．
在△A₁BC₁中，A₁B=2，BC₁=2，A₁C₁=4，
由余弦定理可得cos∠BA₁C₁=，
所以∠BA₁C₁=arccos．
即异面直线A₁B与AC所成角的大小为arccos．