一个正三棱柱有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的六个顶点),则此内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比为1:______:______. |
设正三棱柱底面正三角形的边长为a,其内切球的半径为R 当球外切于正三棱柱时,球的半径R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到对边的距离即R=a,到相对棱的距离是 a 又正三棱柱的高是其内切球半径的2倍,故正三棱柱的高为 a, 球外接正三棱柱时,球的球心是正三棱柱高的中点,且球的球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥,顶点在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到顶点的距离 a,棱锥的高为 a 故正三棱锥外接球的半径满足 R22=(a)2+(a)2=a2, 三棱柱的表面积为:2×a2+3a× a=a2 ∴内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比4(πa2):(4πa2):a2=R2:R22=1:5:.
故答案为:5;. |
核心考点
试题【一个正三棱柱有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的六个顶点),则此内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比为1:】;主要考察你对
柱锥台的表面积等知识点的理解。
[详细]
举一反三
把一个三棱锥的各棱都增大到原来的2倍,那么它的体积增大的倍数是______. |
如图E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD的中点,正方形的边长为2沿图中虚线折起来它围成的几何体的体积为______. |
已知一个四面体的5条棱长都等于2,则它的体积的最大值为______. |
将一边长为4的正方形纸片按图一中的虚线所示的方法剪开后拼成一个正四棱柱,设其体积为V1;若将同样的正方形按图二中的虚线所示的方法剪开后拼成一个正四棱锥,设其体积为V2,则V1与V2的大小关系是 ______. |