题目

题型：上海难度：来源：

如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos

10

10

，求四面体ABCD的体积．

答案

以BC、BA、BD为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，…（2分）


由题意得A（0，2，0），C（2，0，0），E（1，1，0）
设D点的坐标为（0，0，z）（z＞0），
则

BE

=(1，1，0)，

AD

=(0，-2，z)…（6分）
∴

AD

•

BE

=

2

•

4+z2

cosθ=-2，
∵AD与BE所成的角的大小为arccos

10

10

，可得cos2θ=

2

4+z2

=

1

10

，
∴代入上式，解之得z=4，即BD的长度是4，…（10分）
因此，三棱锥D-ABC的体积
VD-ABC=

1

3

S△ABC•BD=

1

6

AB•BC•BD=

1

6

×2×2×4=

8

3

，
即四面体ABCD的体积是

8

3

，…（12分）