题目

题型：青州市模拟难度：来源：

已知四面体ABCD（图1），沿AB、AC、AD剪开，展成的平面图形正好是图2所示的直角梯形A₁A₂A₃D（梯形的顶点A₁、A₂、A₃重合于四面体的顶点A）．
（1）证明：AB⊥CD．
（2）当A₁D=10，A₁A₂=8时，求四面体ABCD的体积．

答案

（I）证明：由图2，A₁A₂A₃D为直角梯形，
得A₁B⊥A₁D，A₂B⊥A₂C．
即图1中，AB⊥AC，AB⊥AD．
又AC∩AD=A，∴AB⊥面ACD．
∵CD⊂面ACD，∴AB⊥CD．
（II）在图2中，作DE⊥A₂A₃于E，
∵A₁A₂=8，∴DE=8，
又∵A₁D=A₃D=10，∴EA₃=6，∴A₂A₃=10+6=16．
而A₂C=A₃C，∴A₂C=8，即图1中AC=8，AD=10．
由A₁A₂=8，A₁B=A₂B，得图1中AB=4．
S△ACD=S△A3CD=

1

2

×8×8=32．
由（I）知，AB⊥面ACD，∴VB-ACD=

1

3

×32×4=

128

3

．