题目

题型：不详难度：来源：

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．

答案

（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，
∠BAC=60°，∴BC=

3

，AC=2．
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，
∴CD=2

3

，AD=4．
∴S_ABCD=

1

2

AB•BC+

1

2

AC•CD=

1

2

×1×

3

+

1

2

×2×2

3

=

5

2

3

．则V=

1

3

×

5

2

3

×2=

5

3

3

．
（Ⅱ）∵PA=CA，F为PC的中点，
∴AF⊥PC．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．


∵E为PD中点，F为PC中点，
∴EF∥CD．则EF⊥PC．
∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF．
（Ⅲ）证法一：
取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．
∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴EM∥平面PAB．   …12分
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，
∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．
∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC=M，
∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC⊂平面EMC，
∴EC∥平面PAB．
证法二：
延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．
∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，
∴C为ND的中点．         …12分
∵E为PD中点，∴EC∥PN．…14分
∵EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，
∴EC∥平面PAB．