题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）已知正四棱锥P—ABCD的高为，底面边长为，其内接正四棱柱EFGH—E₁F₁G₁H₁的四个顶点E、F、G、H在底面上，另外四个顶点E₁、F₁、G₁、H₁分别在棱PA、PB、PC、PD上（如图所示），设正四棱柱的底面边长为．

（Ⅰ）设内接正四棱柱的体积为，求出函数的解析式；
（Ⅱ）试求该内接正四棱柱的最大体积及对应的的值．

答案

（Ⅰ）

解析

（Ⅰ）设正四棱锥的底面中心为O，内接正四棱锥的高为，
由已知条件和平面几何知识得，
∴，∴EE₁，即，
∴，即；                ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），
令，则（舍去），或，
且、与的取值变化如下表所示：

	+	0
		极大值

      ∴该内接正四棱柱当且仅当时，其体积取得最大值． …………13分