题目

题型：不详难度：来源：

(本题12分)
如图1所示，在平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，已知AB=5，AD=4，AA₁=3，AB⊥AD，∠A₁AB=∠A₁AD=。（1）求证：顶点A₁在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；
（2）求这个平行六面体的体积。

图1                                      

答案

（1）略
（2）平行六面体的体积为。

解析

解（1）如图2，连结A₁O，则A₁O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A₁M，A₁N。由三垂线定得得A₁M⊥AB，A₁N⊥AD。∵∠A₁AM=∠A₁AN，
∴Rt△A₁NA≌Rt△A₁MA,∴A₁M=A₁N，
从而OM=ON。
∴点O在∠BAD的平分线上。
（2）∵AM=AA₁cos=3×=
∴AO==。
又在Rt△AOA₁中，A₁O²=AA₁² – AO²=9－=，
∴A₁O=，平行六面体的体积为。