题目
题型:不详难度:来源:
(1)求三棱锥的体积;
(2)求二面角的平面角.
答案
解析
试题分析:(1)由于三棱锥的侧棱长都相等,可以得到点在平面内的射影点为的外心,而由于的三条底边满足勾股定理,可知为直角三角形的斜边,从而可以知道的中点即为直角三角形的外心,然后利用勾股定理求出,并且计算出直角三角形的面积,最后利用锥体的体积公式计算此三棱锥的体积;(2)解法一是在(1)中的基础上,利用平面,得到平面平面,然后在平面内作于点,利用平面与平面垂直的性质定理得到平面,从而得到,再从点在平面内作于点,并连接,利用三垂线法得到为二面角的平面角,最后在直角三角形中计算的大小;解法二是以为原点,以为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法求二面角
的平面角的大小.
试题解析:(1)取的中点,连接,
易得:,,
,
.
.
又 平面,
(2)法一:作⊥,⊥于点,连接
平面,平面,
又 平面.
∵, ∴
又 平面,
∵,∴,
∴为二面角的平面角.
∵,,
由(Ⅰ)知,.
∴,
∴,∴,
法二:以为原点,以为轴建系,则,,
设为平面的法向量,则有
,
∴
又∵为平面的法向量,
∴,二面角的平面角为.
核心考点
举一反三
(Ⅰ)求四棱锥的体积;
(Ⅱ)证明:直线平面.
(1)证明:平面PAB⊥平面PBC;
(2)若,,PB与底面ABC成60°角,分别是与的中点,是线段上任意一动点(可与端点重合),求多面体的体积。
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