题目
题型:不详难度:来源:
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,E为PA的中点,过E作平行于底面的平面EFGH,分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,∠BCD=135°.
(1)求异面直线AF与BG所成的角的大小;
(2)求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的余弦值
答案
解析
由题意可知,AP、AD、AB两两垂直,可建立空间直角坐标系A-xyz,求出图中各点坐标
(1)求出异面直线AF,BG的方向向量,根据两个向量的数量积为0,两个向量垂直,易得异面直线AF,BG所成的角的大小为
(2)求出平面APB的法向量为 n和设平面CPD的法向量为m, ,代入向量夹角公式 ,可得面APB与面CPD所成的锐二面角的大小
解 由题意可知:AP、AD、AB两两垂直,可建立空间直角坐标系A-xyz
由平面几何知识知:AD=4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ),
C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1)
(1)=(1,0,1),=(-1,1,1)
∴·=0,
∴AF与BG所成角为 .
(2) 可证明AD⊥平面APB,
∴平面APB的法向量为n=(0,1,0)
设平面CPD的法向量为m=(1,y,z)
由 Þ
故m=(1,1,2)
∵cos<m,n>=
∴平面APB与平面CPD所成的锐二面角的余弦值为.
核心考点
试题【(本题满分10分) 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,E为PA的中点,过E作平行于底面的平面EFGH,分别与另外三条侧棱相交】;主要考察你对空间几何体的视图与直观图等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在梯形中,∥,,,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上.
(1)求证:平面BCF⊥平面ACFE;
(2)当为何值时,∥平面?证明你的结论;
心,是的中点,.
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ当取何值时,在平面内的射影恰好为的重心?
如图1,在三棱锥P-A.BC中,PA.⊥平面A.BC,A.C⊥BC,D为侧棱PC上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.
(1) 证明:A.D⊥平面PBC;
(2) 求三棱锥D-A.BC的体积;
(3) 在∠A.CB的平分线上确定一点Q,使得PQ∥平面A.BD,并求此时PQ的长.
A.一线段 | B.一段圆弧 |
C.一个椭圆 | D.一段抛物线 |
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