题目

题型：不详难度：来源：

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=1，AA₁=2,点E为CC₁中点,点F为BD₁中点.

(1)证明:EF为BD₁与CC₁的公垂线(即证EF与BD₁、CC₁都垂直);
(2)求点D₁到面BDE的距离.

答案

 
(1)证明:如图,取BD中点M,连结MC、FM.

∵F为BD₁中点,
∴FM∥D₁D且.
又且EC⊥MC,
∴四边形EFMC是矩形.∴EF⊥CC₁.
又CM⊥面DBD₁,
∴EF⊥面DBD₁.
又面DBD₁,
∴EF⊥BD₁.
故EF为BD₁与CC₁的公垂线.
(2)解:连结ED₁,有V_E-DBD1=V_D1-DBE.
由(1)知EF⊥面DBD₁.
设点D₁到面BDE的距离为d,
则S_△DBE·d=S_△DBD1·EF.
∵AA₁=2,AB=1,
∴,.
∴,
.
∴.
故点D₁到平面BDE的距离为.

解析

简单几何体和球,空间直线和平面