题目
题型:不详难度:来源:
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(点E与B1不重合),且EH∥A1 D1. 过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G。
(I) 证明:AD∥平面EFGH;
(II) 设AB=2AA1 ="2" a .在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点。记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p,当点E,F分别在棱A1B1上运动且满足EF=a时,求p的最小值.
答案
解析
解法一:
(I) 证明:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD∥A1 D1
又∵EH∥A1 D1,∴AD∥EH.
∵AD¢平面EFGH
EH 平面EFGH
∴AD//平面EFGH.
(II) 设BC=b,则长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=AB·AD·AA1 =2a2b,
几何体EB1F-HC1G的体积V1 =(1/2EB1 ·B1F)·B1C1 =b/2·EB1 ·B1 F
∵EB12 + B1 F2=a2
∴EB12 + B1 F2≤ (EB12 + B1 F2)/2 = a2 / 2,当且仅当EB1 =B1 F= a时等号成立
从而V1 ≤ a2b /4 .
故 p=1-V1/V ≥=
解法二:
(I) 同解法一
(II) 设BC=b,则长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=AB·AD·AA1 =2a2b ,
几何体EB1F-HC1G的体积
V1=(1/2 EB1 ·B1 F)·B1C1 =b/2 EB1 ·B1 F
设∠B1EF=θ(0°≤θ≤90°),则EB1 =" a" cosθ,B1 F ="a" sinθ
故EB1 ·B1 F = a2 sinθcosθ=,当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.
从而
∴p=1- V1/V≥=,当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.
所以,p的最小值等于7/8
核心考点
试题【(本小题满分12分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(点E与B1不重合),且EH∥A1 D1. 过EH的平面与】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,与都是边长为2的正三角形,
平面平面,平面,.
(1)求点到平面的距离;
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.
上的点,,
(1) 求异面直线与所成角的余弦值;
(2) 证明平面
(3) 求二面角的正弦值。
A.(0,) | B.(1,) |
C.(,) | D.(0,) |
设,是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是
A.若,,则 | B.若,,则 |
C.若,,则 | D.若,,则 |
本题满分15分)如图,在矩形中,点分别
在线段上,.沿直线
将翻折成,使平面.
(Ⅰ)求二面角的余弦值;
(Ⅱ)点分别在线段上,若沿直线将四
边形向上翻折,使与重合,求线段
的长。
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