题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）如图：直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是边长为2a的菱形，∠BAD=60⁰，E为AB中点，二面角A₁-ED-A为60⁰
（I）求证：平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁；
（II）求二面角A₁-ED-C₁的余弦值；
（III）求点C₁到平面A₁ED的距离。

答案

（I）同解析，（II）二面角A₁-ED-C₁的余弦值为（III）点C₁到平面A₁ED的距离为（

解析

解：（I）证明：连结BD，在菱形ABCD中，∠BAD=60⁰，∴△ABD为正三角形，
∵E为AB的中点，∴ED⊥AB （1分）
在直六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：
平面ABB₁A₁⊥平面ABCD且交于AB，∵ED面ABCD∴ED⊥面ABB₁A₁（3分）
∴平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁（4分）
（II）解：由（I）知：ED⊥面ABB₁A₁∵A₁E面ABB₁A₁∴A₁E⊥ED
又在直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：AA₁⊥面ABCD，
由三垂线定理的逆定理知：AE⊥ED，∴∠A₁EA=60⁰（5分）
取BB₁的中点F，连EF．AB₁，则EF，在直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：AB₁DC₁∴EF∴E．F．C₁、D四点共面（6分）
∵ED⊥面ABB₁A₁且EF面ABB₁A₁
∴EF⊥ED∴∠A₁EF为二面角A₁-ED-C₁的平面角（7分）
在Rt△A₁AE中：，
在Rt△EBF中：，
在Rt△A₁B₁F中：
∴在Rt△A₁EF中：，∴二面角A₁-ED-C₁的余弦值为（9分）
（III）过F作FG⊥A₁E交A₁E于G点∵平面A₁ED⊥面ABB₁A₁
且平面A₁ED∩面ABB₁A₁=A₁E∴FG⊥平面A₁ED，
即：FG是点F到平面A₁ED的距离（11分）
在Rt△EGF中：∴
∴（13分）
∵EF且E．D∈面A₁ED∴点C₁到平面A₁ED的距离为（14分）