题目
题型:不详难度:来源:
如图,四棱锥的底面是矩形,底面,为边的中点,与平面 所成的角为45°,且.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦的大小.
答案
所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角 …………………1分
由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1易求得,AP=PD=,…………………3分
又因为AD=2,所以AD2=AP2+PD2,所以. …………………4分
因为SA⊥底面ABCD,平面ABCD,
所以SA⊥PD, …………………………………………………………5分
由于SA∩AP=A 所以平面SAP.…………………6分
(Ⅱ)设Q为AD的中点,连结PQ,…………………7分
由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,
则平面SAD⊥平面PAD …………………8分
,PQ⊥平面SAD,SD平面SAD, .
过Q作QR,垂足为,连接,则.
又,,
∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角.…………10分
容易证明△DRQ∽△DAS,则.
因为,,
所以. …………………12分
在Rt△PRQ中,因为PQ=AB=1,,
所以. …………………13分
所以二面角A-SD-P的余弦为.…………………14分
解法二:因为底面,
所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角. ……1分
由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1
建立空间直角坐标系(如图)
由已知,P为BC中点.
于是A(0,0,0)、B(1,0,0)、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)……………3分
(Ⅰ)易求得,
,.…………………4分
因为,.
所以,.
由于,所以平面. …………………6分
(Ⅱ)设平面SPD的法向量为.
由,得解得,
所以. …………………9分
又因为AB⊥平面SAD,所以是平面SAD的法向量,
易得.…………………9分
所以. …………………13分
所以所求二面角的余弦值为.…………………14分
解析
核心考点
试题【(本小题满分12分)如图,四棱锥的底面是矩形,底面,为边的中点,与平面 所成的角为45°,且.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦的大小.】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高,已知AB=,∠APB=∠ADB=60°
(Ⅰ)证明:平面PAC⊥平面PBD;
(Ⅱ)求PH与平面PAD所成的角的大小.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,E为PC的中点,PB=PD.
(1)证明:BD ⊥平面PAC.
(2)若PA=PC=2,求三棱锥E-BCD的体积。
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA=AD=4,AB=2,
PB=2,PD=4,E是PD的中点
(1)求证:AE⊥平面PCD;
(2)若F是线段BC的中点,求三棱锥F-ACE的体积。
如图,在多面体ABCDEF中,ABCD是正方形,AB=2EF=2,,EF⊥FB,∠BFC=,BF=FC,H为BC的中点.
(Ⅰ)求证:平面EDB;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;
(Ⅲ)求四面体B—DEF的体积.
(Ⅰ)求证:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)求PC与平面ABCD所成角的正切值;
(Ⅲ)求二面角P一EC一D的正切值。
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