题目

题型：不详难度：来源：

（12分）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，E、F分别为C₁C、BC的中点。
（1）求证：B₁F⊥平面AEF
（2）求二面角B₁-AE-F的余弦值。

答案

（1）见解析；（2）余弦值为。

解析

本试题主要是考查了立体几何中线面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理和二面角的求解的综合运用。
（1）求证B₁F⊥平面AEF，只需证明B₁F垂直平面AEF内的两条相交直线AF、EF即可；
（2）利用空间向量建立空间直角坐标系，然后分析法向量的坐标，结合向量的数量积得到结论。
解（1）B₁F⊥AF , B₁F⊥EF
所以B₁F⊥平面 AEF（6分）
（2）余弦值为（6分）