题目

题型：不详难度：来源：

如图，在三棱锥中，底面, 为的中点,.

（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离。

答案

（1）证明过程详见解析；（2）点到平面的距离为.

解析

试题分析：本题以三棱锥为几何背景考查线面垂直的判断和点到面的距离的求法，可以运用传统几何法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问,先利用线面垂直平面，得到线线垂直，由等腰三角形，得，由上述两个条件得平面；第二问，利用第一问可得面面，利用面面垂直的性质，得到的距离即为到面的距离，在直角三角形中，用等面积法表示.法二：第二问，等体积法求点面距离，，即，得.
试题解析：（1）因为平面，平面，
所以        2分
又因为在中，，为的中点，
所以     4分
又平面，平面，且，
所以平面   6分
（2）法一：因为平面且平面
所以平面平面，             8分
又因为平面平面，
所以点到的距离即为点到平面的距离，        10分
在直角三角形中，由                 11分
得                     13分
所以点到平面的距离为 .          14分
法二：设点到平面的距离为， 据      8分
即，得         13分
所以点到平面的距离为 .          14分