题目

题型：湖北省模拟题难度：来源：

已知数列{a_n}满足a₁=7，a_n+1=3a_n+2^n-1-8n（n∈N*）。
（1）李四同学欲求{a_n}的通项公式，他想，如能找到一个函数f（n）=A·2^n-1+B·n+C（A、B、C是常数），把递推关系变成a_n+1-f（n+1）=3[a_n-f（n）]后，就容易求出{a_n}的通项了。请问：他设想的f（n）存在吗？{a_n}的通项公式是什么？
（2）记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，若不等式S_n-2n²>p×3ⁿ 对任意n∈N*都成立，求实数p的取值范围。

答案

解：（1）∵
∴
所以只需
∵f（n+1）-3f（n）=-2Bn+（B-2C）
∴-A=1，-2B=-8，B-2C=0
∴A=-1，B=4，C=2
故李四设想的f（n）存在，
f（n）=
∴
∴。
（2）

∴
由得
p＜
设
则
当n≥6时，


∴n≥6时，
容易验证，1≤n≤5时，
∴
∴p的取值范围为。