题目
题型:期末题难度:来源:
(Ⅰ)分别判断下列集合A是否为集合M的一个二元基底,并说明理由;
①A={1,5}M={1,2,3,4,5};
②A={2,3},M={1,2,3,4,5,6}.
(Ⅱ)若集合A是集合M的一个m元基底,证明:m(m+1)≥n;
(III)若集合A为集合M={1,2,3,…,19}的一个m元基底,求出m的最小可能值,并写出当m取最小值时M的一个基底A.
答案
理由是3≠λ1×1+λ2×5;
②A={2,3}是M={1,2,3,4,5}的一个二元基底.
理由是 1=﹣1×2+1×3,2=1×2+0×3,3=0×2+1×3,
4=1×2+1×2,5=1×2+1×3,6=1×3+1×3.
(Ⅱ)不妨设a1<a2<a3<…<am,则形如1×ai+0×aj(1≤i≤j≤m)的正整数共有m个;
形如1×ai+1×ai(1≤i≤m)的正整数共有m个;
形如1×ai+1×aj(1≤i≤j≤m)的正整数至多有 个;
形如﹣1×ai+1×aj(1≤i≤j≤m)的正整数至多有 个.
又集合M={1,2,3,…,n}(n∈N*),
含n个不同的正整数,A为集合M的一个m元基底.
故m+m+ + ≥n,即m(m+1)≥n
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知m(m+1)≥19,所以m≥4.
当m=4时,m(m+1)﹣19=1,
即用基底中元素表示出的数最多重复一个…*
假设A=a1,a2,a3,,a4为M={1,2,3,…,19}的一个4元基底,
不妨设a1<a2<a3<a4,则a4≥10.
当a4=10时,有a3=9,这时a2=8或7.
如果a2=8,则由1=10﹣9,1=9﹣8,18=9+9,18=10+8,这与结论*矛盾.
如果a2=7,则a1=6或5.
易知A={6,7,9,10}和A={5,7,9,10}都不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾.当a4=11时,有a3=8,这时a2=7,a1=6,
易知A={6,7,8,11}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾.
当a4=12时,有a3=7,这时a2=6,a1=5,
易知A={5,6,7,12}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾.
当a4=13时,有a3=6,a2=5,a1=4,
易知A={4,5,6,13}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾.
当a4=14时,有a3=5,a2=4,a1=3,
易知A={3,4,5,14}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾.
当a4=15时,有a3=4,a2=3,a1=2,
易知A={2,3,4,15}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾.
当a4=16时,有a3=3,a2=2,a1=1,
易知A={1,2,3,16}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾.
当a4≥17时,A均不可能是M的4元基底.
当m=5时,M的一个基底A={1,3,5,9,16}.
综上所述,m的最小可能值为5.
核心考点
试题【已知集合M={1,2,3,…,n}(n∈N*),若集合,且对任意的b∈M,存在ai,aj∈A(1≤i≤j≤m),使得b=λ1ai+λ2aj(其中λ1,λ2∈{﹣】;主要考察你对二项式定理等知识点的理解。[详细]
举一反三
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