题目

题型：青州市模拟难度：来源：

设函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点(

π

2

，1)．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式，并求函数的最小正周期和最值．
（Ⅱ）若f(

π

12

)=

2

sinA，其中A是面积为

3 3

2

的锐角△ABC的内角，且AB=2，求AC和BC的长．

答案

（Ⅰ）∵函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点(

π

2

，1)，
∴msin

π

2

+cos

π

2

=1，
∴m=1，（2分）
∴f(x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)．（4分）
∴函数的最小正周期T=2π．（5分）
当x=

π

4

+2kπ(k∈Z)时，f（x）的最大值为

2

，当x=

5π

4

+2kπ(k∈Z)时，f（x）最小值为-

2

．（7分）
（Ⅱ）因为f(

π

12

)=

2

sinA，即f(

π

12

)=

2

sin

π

3

=

2

sinA，
∴sinA=sin

π

3

，
∵A是面积为

3 3

2

的锐角△ABC的内角，
∴A=

π

3

．（10分）
∵S△ABC=

1

2

AB•ACsinA=

3

2

3

，
∴AC=3．（12分）
由余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2•AB•ACcosA=7，
∴BC=

7

．（14分）