题目

题型：东城区一模难度：来源：

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．cosC=

4

5

，c=2bcosA．
（Ⅰ）求证：A=B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=

15

2

，求c的值．

答案

（Ⅰ）∵c=2bcosA，
∴根据正弦定理得：sinC=2sinB•cosA，
又sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2sinB•cosA，
整理得：sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，
在△ABC中，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，
∴-π＜A-B＜π，
则A=B；（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）A=B，可得a=b，
∵cosC=

4

5

，且C为三角形的内角，
∴sinC=

1-cos2C

=

3

5

，
又△ABC的面积S=

15

2

，
∴S=

1

2

absinC=

3

10

ab=

15

2

，
即ab=a²=25，
∴a=b=5，又cosC=

4

5

，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=10，
则c=

10

．（13分）