题目

题型：不详难度：来源：

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b²=a²+c²-ac，b=1．
（1）若tanA-tanC=

3

3

(1+tanAtanC)，求c；
（2）若a=2c，求△ABC的面积．

答案

（Ⅰ）由已知b²=a²+c²-ac，可知cosB=

1

2

，
∵0＜B＜π，解得B=

π

3

；tanA-tanC=

3

3

(1+tanAtanC)
tan（A-C）=

3

3

，-

2π

3

＜A-C＜

2π

3

，
∴A-C=

π

6

，且A+B+C=π，A=

5π

12

，C=

π

4

，
由

c

sinC

=

b

sinB

，即

c

sin π 4

=

1

sin π 3

，解得c=

6

3

．
（Ⅱ）因为b²=a²+c²-2accosB，又a=2c，B=

π

3

，
所以b²=4c²+c²-4c²×

1

2

，解得b=

3

c．
因此得a²=b²+c²．故三角形ABC是直角三角形，
A=

π

2

，c=

1

3

．
其面积S=

1

2

bc=

3

6

．