题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，有两条相交成60°角的直路XX′和YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两人同时用每小时4 km的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y的方向步行.
（1）起初，两人的距离是多少？
（2）用t表示t小时后两人的距离；
（3）什么时候两人的距离最短？

答案

（1）甲、乙两人起初的距离是km（2）|PQ|=（3）在第15分钟末，两人的距离最短

解析

（1）设甲、乙两人起初的位置是A、B，则由余弦定理：
|AB|²=|OA|²+|OB|²-2|OA|·|OB|·cos60°
=3²+1²-2×3×1×=7,∴|AB|=.
所以甲、乙两人起初的距离是km.
（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，
则|AP|=4t，|BQ|=4t，
当0≤t≤时，由余弦定理
|PQ|²=（3-4t）²+（1+4t）²-2（3-4t）（1+4t）·cos60°，
当t＞时，
|PQ|²=（4t-3）²+（1+4t）²-2（4t-3）（1+4t）cos120°.
注意到上面两式实际上是统一的，
所以|PQ|²=（16t²-24t+9）+（16t²+8t+1）+（16t²-8t-3）=48t²-24t+7，
即|PQ|=.
（3）∵|PQ|=，
∴当t=时，|PQ|的最小值是2.
即在第15分钟末，两人的距离最短.