题目

题型：不详难度：来源：

已知锐角三角形ABC中，（14分）
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高

答案

（1）sin(A+B)= ,sin(A-B)=
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=
sin(A- B)=sinAcosB-sinBcosA=
两式相加相减后可得：sinAcosB=，sinBcosA=
将两式相除，可得tanA=2tanB
（2）∵△ABC是锐角三角形
∴0＜C＜
又A＋B＝π－C
∴＜A＋B＜π
∵sin(A＋B)＝3/5
∴cos(A＋B)＝＝－
则tan(A＋B)＝sin(A＋B)/cos(A＋B)＝－
即(tanA＋tanB)/(1－tanAtanB)＝－
又tanA＝2tanB
∴3tanB/(1－2tan²B)＝－
即2tan²B－4tanB－1＝0
解得tanB＝∵0＜B＜
∴tanB＝＝1＋

解析

把已知的两等式分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，将化简后的两等式组成方程组，两方程相加相减可得出sinAcosB及cosAsinB的值，两式相除并利用同角三角函数间的基本关系可得到tanA与tanB的关系，由三角形为锐角三角形，得到C的范围，根据三角形的内角和定理得出A+B的范围，由sin（A+B）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（A+B）的值，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tan（A+B）的值，然后利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），将得出的tanA的关系式代入得到关于tanB的方程，求出方程的解即可得到tanB的值．