题目

题型：福建省高考真题难度：来源：

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇，
(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少?？
(Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大
小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

答案

解：(Ⅰ)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则

故当时，，此时，
即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． (Ⅱ)设小艇与轮船在B处相遇，则v²t²=400+900t²-2·20·30t·cos(90°-30°)，
故，
，
∴，
即，解得，
又时，v=30，
故v=30时，t取得最小值，且最小值等于，
此时，在△OAB中，有OA=OB=AB=20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．