题目

题型：山西省模拟题难度：来源：

在某海域，以点E为中心的7海里以内海域足危险区域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A。某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C，
（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/时）；
（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入危险水域，并说明理由。

答案

解：（Ⅰ）如图，
，
由余弦定理，BC²=AB²+AC²-2AB·ACcosθ，
得，
所以船的行驶速度为（海里/小时）；
（Ⅱ）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q，
在△ABC中，由余弦定理得，
，
从而，
在△ABQ中，由正弦定理得，
，
所以AE=55＞40=AQ，且QE=AE-AQ=15，
过点E作EP⊥BC于点P，
在Rt△QPE中，
PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC
=QE·sin（45°-∠B），
所以船会进入危险水域。