题目

题型：不详难度：来源：

在△ABC中，满足（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，且△ABC的外接圆半径为

2

．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求△ABC面积S的最大值，并判断此时的三角形形状．

答案

（Ⅰ）利用正弦定理化简（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB得：a²-c²=ab-b²，
变形得：a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
又C为三角形的内角，
则C=

π

3

；
（Ⅱ）∵

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，又c=2rsinC=2×

2

×

3

2

=

6

，
∴ab=a²+b²-6≥2ab-6，即ab≤6，
∴当a=b=

6

时，（ab）_max=6，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3 3

2

，
又a=b，且C=

π

3

，
则此时△ABC为等边三角形．