题目

题型：浙江省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=x³-ax，
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）已知函数g（x）=ax（|x+a|-1），记h（x）=f（x）-g（x）（x∈[0，2]），当函数h（x）的最大值为0时，求实数a的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
∵f′（x）＞0x＞1或x＜-1，且x∈[-2，2]，
∴函数f（x）在[-2，-1]上递增，[-1，1]上递减，[1，2]上递增，
∵f（-2）=f（1）=-2，
∴f_min（x）=-2，
∵f（0）=-2，而f（2）=2，
∴f_max（x）=2；
（Ⅱ）h（x）=f（x）-g（x）=x³-ax|x+a|（x∈[0，2]），
（1）当a≤0时，h（x）=x³-ax|x+a|≥0，
∵h（0）=0，且0＜x≤2时h（x）＞0，显然不符合题设；
（2）当a＞0时，∵x≥0，h（x）=x³-ax²-a²x，
∴h′（x）=3x²-2ax-a²=（x-a）（3x+a），
∵x≥0，
∴h′（x）＞0x＞a，
①当a≥2时，必有h′（x）≤0，
∴h（x）在[0，2]上单调递减，则最大值为h（0）=0，满足题设；
②当0＜a＜2时，∵h′（x）＞0x＞a，
∴h（x）在[0，a]上单调递减，（a，2]上单调递增，
则h（x）_max=max（h（0），h（2）），
∵h（0）=0，只需h（2）≤0，即8-4a-2a²≤0，
解得，
∴；
综上得，所求实数a的取值范围是。