题目

题型：河南省模拟题难度：来源：

设函数f（x）=alnx﹣bx²（x＞0）；
（1）若函数f（x）在x=1处与直线相切
①求实数a，b的值；
②求函数上的最大值．
（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，求实数m的取值范围．

答案

解：（1）①
∵函数f（x）在x=1处与直线相切
∴，解得
②
当时，令f"（x）＞0得；
令f"（x）＜0，得1＜x≤e
∴上单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴
（2）当b=0时，f（x）=alnx
若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，
则alnx≥m+x对所有的都成立，
即m≤alnx﹣x，对所有的都成立，
令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，m≤h（a）_min
∵x∈（1，e²]，∴lnx＞0，∴上单调递增
∴h（a）min=h（0）=﹣x，
∴m≤﹣x对所有的x∈（1，e²]都成立，
∵1＜x＜e²，
∴﹣e²≤﹣x＜﹣1，∴m≤（﹣x）_min=﹣e²．