题目

题型：高考真题难度：来源：

已知函数f（x）=e^x-ax，其中a＞0。
（1）若对一切x∈R，f（x） ≥1恒成立，求a的取值集合；
（2）在函数f（x）的图像上去定点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为k，证明：存在x₀∈（x₁，x₂），使恒成立。

答案

解：
令
当时单调递减；
当时单调递增，
故当时，取最小值
于是对一切恒成立，
当且仅当 ①
令则
当时，单调递增；
当时，单调递减
故当时，取最大值
因此，当且仅当时，①式成立.综上所述，
的取值集合为。
（Ⅱ）由题意知，
令
则
令，
则.当时，单调递减；
当时，单调递增
故当，
即从而，
又
所以
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，
所以存在使即成立。