题目
题型:不详难度:来源:
(1)若f(1)=g(1),f′(1)=g′(1),求g(x)的解析式;
(2)在(1)的结论下,是否存在实常数k和m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m?若存在,求出k和m的值.若不存在,说明理由.
(3)设G(x)=f(x)+2-g(x)有两个零点x1和x2,且x1,x0x2成等差数列,试探究值G′(x0)的符号.
答案
∵f′(x)=2x,g′(x)=
a |
x |
∴2=a+b,联立
|
则g(x)=lnx+x.
(2)因f(x)与g(x)有一个公共点(1,1),而函数f(x)=x2在点(1,1)的切线方程为y=2x-1,
下面验证 f(x)≥2x-1,g(x)≤2x-1 都成立即可.
由x2-2x+1≥0,得x2≥2x-1,知f(x)≥2x-1恒成立.
设h(x)=lnx+x-(2x-1),即h(x)=lnx-x+1,h′(x)=
1 |
x |
1-x |
x |
∴h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,∴h(x)在x=1时取得最大值,
∴h(x)=lnx+x-(2x-1)的最大值为h(1)=0,所以lnx+x≤2x-1恒成立.
故存在这样的k和m,且k=2,m=-1,满足条件.
(3)G′(x0)的符号为正,理由为:
∵G(x)=x2+2-alnx-bx有两个不同的零点x1,x2,
则有
|
即x1+x2-b=
a(lnx2-lnx1) |
x2-x1 |
则G′(x0)=2x0-
a |
x0 |
2a |
x1+x2 |
a(lnx2-lnx1) |
x2-x1 |
2a |
x1+x2 |
a |
x2-x1 |
x2 |
x1 |
2(x2-x1) |
x2+x1 |
=
a |
x2-x1 |
x2 |
x1 |
2(
| ||
1+
|
①当0<x1<x2时,令
x2 |
x1 |
a |
x2-x1 |
2(t-1) |
1+t |
故μ(t)=lnt-
2(t-1) |
1+t |
1 |
t |
4 |
(1+t)2 |
(1-t)2 |
t(1+t)2 |
而μ(1)=0,∴μ(t)>0,即lnt-
2(t-1) |
1+t |
②当0<x2<x1时,同理可得:G′(x0)>0,
综上所述:G′(x0)值的符号为正.
核心考点
试题【设函数f(x)=x2,g(x)=alnx+bx(a>0)(1)若f(1)=g(1),f′(1)=g′(1),求g(x)的解析式;(2)在(1)的结论下,是否存在】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
|
5 |
2 |
(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值.
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