题目

题型：不详难度：来源：

设函数f（x）=ln（x+1）
（1）若x＞0证明：f(x)＞

2x

x+2

．
（2）若不等式

1

2

x2≤f(x2)+m2-2bm-3对于x∈[-1，1]及b∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）令g(x)=f(x)-

2x

x+2

=ln(x+1)-

2x

x+2

，
则g′(x)=

1

x+1

-

2(x+2)-2x

(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

．
∵x＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．
故g（x）＞g（0）=0，即f(x)＞

2x

x+2

．
（2）原不等式等价于

1

2

x2-f(x2)≤m2-2bm-3．
令h(x)=

1

2

x2-f(x2)=

1

2

x2-ln(1+x2)，则h′(x)=x-

2x

1+x2

=

x3-x

1+x2

．
令h′（x）=0，得x=0，x=1，x=-1．
∴当x∈[-1，1]时，h（x）_max=0，∴m²-2bm-3≥0．
令Q（b）=-2mb+m²-3，则

Q(1)=m2-2m-3≥0 Q(-1)=m2+2m-3≥0

解得m≤-3或m≥3．