题目

题型：0116 模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=x²-ax+ln（x+1）（a∈R）
（1）当a=2时，求函数f（x）的极值点；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上恒有，求实数a的取值范围；
（3）已知c₁>0，且，在（2）的条件下，证明数列{c_n}是单调递增数列。

答案

解：（1）当a=2时，f（x）=x²-2x+ln（x+1），则
令=0得时
，所以，函数f（x）的极大值点为x=-，极小值点为x=
（2）因为，由得，即
又y=x+（当且仅当x=0时，等号成立），
∴y_min=1，∴a≤1
（3）①当n=1时，
又∵c₁<0,∴c₁+1>1，且a≤1，函数y=2x+当x∈（1，+∞）时单调递增，
∴
=，即当n=1时结论成立；
②假设当n=k（k∈N₊）时，有，且，则当n=k+1时，

又，∴，且a≤1，∴

∴，即当n=k+1时结论成立。由①，②知数列{c_n}是单调递增数列。