题目

题型：专项题难度：来源：

已知函数f(x)=x³-3ax²-9a²x+a³，
(Ⅰ)设a=1，求函数f(x)的极值；
(Ⅱ)若a＞，且当x∈[1，4a]时，|f′(x)|≤12a恒成立，试确定a的取值范围。

答案

解：(Ⅰ)当a=1时，对函数f(x)求导数，得f′(x)=3x²-6x-9，
令f′(x)=0，解得x₁=-1，x₂=3，
列表讨论f(x)，f′(x)的变化情况：

所以，f(x)的极大值是f(-1)=6，极小值是f(3)=-26；
(Ⅱ)f′(x)=3x²-6ax-9a²的图象是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称，
若，则f′(x)在[1，4a]上是增函数，
从而f′(x)在[1，4a]上的最小值是f ′(1)=3-6a-9a²，最大值是f′(4a)=15a²，
由|f′(x)|≤12a，得-12a≤3x²-6ax-9a²≤12a，
于是有f′(1)=3-6a-9a²≥-12a，且f′(4a)=15a²≤12a，
由f′(1)≥-12a，得，
由f′(4a)≤12a，得，
所以，即；
若a＞1，则|f′(a)|=12a²＞12a，
故当x∈[1，4a]时，|f′(x)|≤12a不恒成立，
所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1，4a])恒成立的a的取值范围是。