题目

题型：安徽省期中题难度：来源：

已知函数f（x）=x³+mx²﹣m²x+1（m为常数，且m＞0）有极大值9．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率为﹣5的直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程．

答案

解：（Ⅰ）f ’（x）=3x²+2mx﹣m²=（x+m）（3x﹣m）=0，则x=﹣m或x=m， 当x变化时， 
f ’（x）与f（x）的变化情况如下表：

从而可知，
当x=﹣m时，函数f（x）取得极大值9，即f（﹣m）=﹣m³+m³+m³+1=9，
∴m=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x³+2x²﹣4x+1，
依题意知f’（x）=3x²+4x﹣4=﹣5，
∴x=﹣1或x=﹣．
又f（﹣1）=6，f（﹣）=，
所以切线方程为y﹣6=﹣5（x+1），或y﹣=﹣5（x+），5x+y﹣1=0，
或135x+27y﹣23=0．