题目

题型：陕西省月考题难度：来源：

设函数f（x）=﹣x³+3x+2分别在x₁、x₂处取得极小值、极大值．xOy平面上点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），该平面上动点P满足，点Q是点P关于直线y=2（x﹣4）的对称点．求
（I）求点A、B的坐标；
（II）求动点Q的轨迹方程．

答案

解：（Ⅰ）令f "（x）=（﹣x³+3x+2）"=﹣3x²+3=0
解得x=1或x=﹣1 当x＜﹣1时，f"（x）＜0，
当﹣1＜x＜1时，f"（x）＞0，
当x＞1时，f "（x）＜0
所以，函数在x=﹣1处取得极小值，在x=1取得极大值，
故x₁=﹣1，x₂=1，f（﹣1）=0，f（1）=4
所以，点A、B的坐标为A（﹣1，0），B（1，4）．
（Ⅱ）设p（m，n），Q（x，y），
  ，
所以 ，又PQ的中点在y=2（x﹣4）上，
所以  消去m，n 得（x﹣8）²+（y+2）²=9