题目

题型：佛山二模难度：来源：

函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象上一个最高点的坐标为(

π

12

，3)，与之相邻的一个最低点的坐标为(

7π

12

，-1)．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求f（x）在x=

π

6

处的切线方程．

答案

（Ⅰ）依题意，得

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，所以T=π，
∴ω=

2π

T

=2…（1分）
又∵

A+B=3 -A+B=-1

，∴解之得

A=2 B=1

…（3分）
再把(

π

12

，3)代入f（x）=2sin（2x+φ）+1，
可得sin(

π

6

+ϕ)=1，所以

π

6

+ϕ=2kπ+

π

2

（k∈Z），
所以ϕ=2kπ+

π

3

，
因为|ϕ|＜

π

2

，所以取k=0得ϕ=

π

3

…（5分）
综上所述，f（x）的表达式为：f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1…（6分）
（Ⅱ）因为f（x）的导数为f′(x)=4cos(2x+

π

3

)…（8分）
∴所求切线的斜率k=f′(

π

6

)=4cos(2×

π

6

+

π

3

)=4cos

2π

3

=-2…（9分）
而f(

π

6

)=2sin(2×

π

6

+

π

3

)+1=2sin

2π

3

+1=

3

+1…（10分）
∴f（x）在x=

π

6

处的切线方程为y-(

3

+1)=-2(x-

π

6

)
化简，得6x+3y-3

3

-3-π=0…（12分）