题目

题型：不详难度：来源：

[1]函数f（x）=x³+ax²+3x-9，已知f（x）在x=-3时取得极值，则a=______．
[2]观察下列等式：1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=（1+2+3），1-4+9-16=-（1+2+3+4），…由此推测第n个等式为______．（不必化简结果）

答案

[1]函数f′（x）=3x²+2ax+3，
又f（x）在x=-3时取得极值，
∴f′（-3）=3×9-6a+3=0，解得a=5．
[2]由等式：1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=（1+2+3），1-4+9-16=-（1+2+3+4），…
可见第n个等式左侧是通项为（-1）ⁿ⁺¹n²的前n项和，右侧为（-1）ⁿ⁺¹（1+2+3+…+n），
所以第n个等式为 1-4+9-16+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=（-1）ⁿ⁺¹（1+2+3+…+n）．
故答案为：[1]5；[2]1-4+9-16+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=（-1）ⁿ⁺¹（1+2+3+…+n）．