题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=

2

3

x3-2x2+(2-a)x+1，其中a∈R．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[2，3]上的最大值．

答案

（1）当a=2时，f(x)=

2

3

x3-2x2+1，
则f′（x）=2x²-4x，故切线的斜率k=f′（1）=-2，
又∵f(1)=-

1

3

，∴切线方程为 y+

1

3

=-2(x-1)，
即6x+3y-5=0．
（2）由题意得f′（x）=2x²-4x+2-a=2（x-1）²-a，
当a≤0时，f′（x）≥0，∴f（x）在[2，3]上单调递增，
则f（x）_max=f（3）=7-3a，
当a＞0时，令f′（x）=0，得x=1±

a 2

①当0＜a≤2时，f（x）在[2，3]上单调递增，则f（x）_max=f（3）=7-3a
②当2＜a＜8时，f（x）在(2，1+

a 2

)上单调递减，在(1+

a 2

，3)上单调递增，
比较f（2）与f（3）的大小，令f（2）＞f（3），

16

3

-8+2(2-a)+1＞

54

3

-18+3(2-a)+1，
解得a＞

14

3

，
③当a≥8时，f（x）在[2，3]上单调递减，f(x)max=f(2)=

7

3

-2a
综上，f(x)max=

7 3 -2a，a＞ 14 3 7-3a，a≤ 14 3