题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈R）在x=-

2

3

处取得极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线y+2=0平行．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对x∈[-1，2]都有f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

答案

（Ⅰ）求导函数，可得f"（x）=3x²+2ax+b
∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈R）在x=-

2

3

处取得极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线y+2=0平行
∴

4 3 - 4 3 a+b=0 3+2a+b=0

，∴a=-

1

2

，b=-2
（Ⅱ）对x∈[-1，2]都有f（x）＜c²恒成立，等价于对x∈[-1，2]都有x³-

1

2

x²-2x＜c²-c恒成立，
设y=x³-

1

2

x²-2x，则y′=3x²-x-2=（x-1）（3x+2）
解（x-1）（3x+2）=0得x=-

2

3

或x=1
当x∈（-1，-

2

3

）时，y"＞0；当x∈（-

2

3

，1）时，y"＜0；当x∈（1，2）时，y"＞0
则f（x）极大值=

22

27

，f（x）极小值=-

3

2

又f（-1）=

1

2

，f（2）=2，所以f（x）_最大值=2；
∴2＜c²-c
∴c＜-1或c＞2．